TRƯỜNG CĐSP TUYÊN QUANG
Khoa tự nhiên
Đề số 01

Đáp án - Đề thi học phần
Môn: Lý thuyết số
Lớp :Toán –Lý K16
Học kỳ II; năm học 2008-2009
Thời gian: 90 phút.




Câu
Đáp án
Cho điểm















1
(3,0đ)
a) CMR: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
Giải
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n - 1 , n , n+1
Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3
= 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9
= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n
Ta thấy (n - 1)n (n + 1) ( 3 (CM Ví dụ 1)
( 3(n - 1)n (n + 1) ( 9
mà
( A ( 9 (ĐPCM)

1,5 đ


c) Chứng minh rằng với n ( N
Ta có: 24 ( 6 (mod) ( 24n+1 ( 2 (mod 10)
( 24n+1 = 10q + 2 (q ( N)
(
Theo định lý Fermat ta có: 210 ( 1 (mod 11)
( 210q ( 1 (mod 11)

( 4+7 (mod 11) ( 0 (mod 11)
Vậy với n ( N (ĐPCM)

1,5đ











2
(4,0đ)

Chứng minh rằng
với mọi số nguyên dương n.
Ta chú ý
và 7, 13, 19 đều là các số nguyên tố nên theo định lý Fermat nhỏ, ta có
. Do đó

Vì 7, 13, 19 đôi một nguyên tố cùng nhau nên sử dụng tính chất 9 của đồng dư ta có






1,0 đ



1,0 đ


 2) Chứng minh rằng với mọi a, n
thì

Ta có


Vậy







1,0 đ




1,0 đ







3
(3,0đ)


Chứng minh rằng với d là một số nguyên dương và x là một số thực tùy ‎ý ta có

Đặt m =
. Khi đó


1,5 đ


Giải hệ phương trình đồng dư :



Đáp số :


1,0 đ