B- giải quyết vấn đề
I - các giải pháp thực hiện
1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, ..., z) với x, y, ..., z thuộc miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x0, y0, ...z0) S mà ta có: P(x0, y0, ...z0) P(x, y, ..., z) hoặc P(x0, y0, ...z0) P(x, y, ..., z) thì ta nói P(x, y, ..., z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x0, y0, ...z0) trên miền S.
P(x, y, ..., z) đạt giá trị lớn nhất tại (x0, y0, ...z0) S còn gọi là P đạt cực đại tại (x0, y0, ...z0) hoặc Pmax tại (x0, y0, ...z0). Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x0, y0, ...z0) S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x0, y0, ...z0) hoặc Pmin tại (x0, y0, ...z0).
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P trên miền S.
2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là:
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng P k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, ..., z) trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng P k ( với k là hằng số ) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên.

Ví dụ: Cho biểu thức A = x2 + (x - 2)2
Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:
Ta có x2 0 ; (x - 2)2 0 nên A 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng không?
Giải:
Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ rằng A 0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời:
x2 = 0 và (x - 2)2 = 0 .
Lời giải đúng là:
A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 = 2x2 - 4x + 4
= 2(x2 -2x - +1) + 2 = 2(x - 1)2 + 2
Ta có: (x - 1)2 0 , x
2(x - 1)2 + 2 2 x
A 2 x
Do đó A = 2 x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
3. Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức.
b) Sử dụng thành th